Найти неопределенный интеграл $$\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx$
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. найдем корни многочлена в знаменателе. Начнем с поиска целых корней из числа делителей свободного члена многочлена $\pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm 3 \quad \pm 6$.
Целыми корнями являются $x=-1; \quad x= -2; \quad x=-3$, получаем $$\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx = \int \frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$$

2. рассмотрим подынтегральное выражение. Представим дробь в виде суммы следующих дробей $$\frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} => \quad (1)$$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при $x$ с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$2x+5 = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)$$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных $x$ с равными степенями $$\begin{cases} 6A+3B+2C = 5\\ 5A + 4B + 3C = 2 \\ A+B+C  = 0 \end{cases}=> \begin{cases} -6B-6C+3B+2C = 5\\ -5B - 5C + 4B + 3C = 2 \\ A = -B-C  \end{cases} =>$$ $$\begin{cases}C = -\frac{1}{2}\\ B = -2 - 2C \\ A = -B-C  \end{cases}=>  \begin{cases} C = -\frac{1}{2}\\ B = -1 \\ A = \frac{3}{2}  \end{cases}$$ подставляем в (1) $$\frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2(x+3)}$$   теперь можно найти интеграл

3. Находим интеграл. $$\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx  =  \int ( \frac{3}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2(x+3)}  )dx =$$ применяем формулу табличного интеграла $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C$ $$=  \int \frac{3}{2(x+1)}dx - \int \frac{1}{x+2}dx - \int \frac{1}{2(x+3)}dx=$$ $$\frac{3}{2}\ln(x+1) -  \ln(x+2) - \frac{1}{2}\ln(x+3) + C$$

Ответ: $\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx  =  \frac{3}{2}\ln(x+1) -  \ln(x+2) - \frac{1}{2}\ln(x+3) + C$