Найдем интеграл: \( \int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. найдем корни многочлена в знаменателе. Начнем с поиска целых корней из числа делителей свободного члена многочлена \( \pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm 3 \quad \pm 6\).
Целыми корнями являются \(x=-1; \quad x= -2; \quad x=-3\), получаем $$\int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx = \int \frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$$
2. рассмотрим подынтегральное выражение. Представим дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$2x+5 = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} 6A+3B+2C = 5\\ 5A + 4B + 3C = 2 \\ A+B+C = 0 \end{cases}=> \begin{cases} -6B-6C+3B+2C = 5\\ -5B - 5C + 4B + 3C = 2 \\ A = -B-C \end{cases} =>$$$$ \begin{cases}C = -\frac{1}{2}\\ B = -2 - 2C \\ A = -B-C \end{cases}=> \begin{cases} C = -\frac{1}{2}\\ B = -1 \\ A = \frac{3}{2} \end{cases}$$ подставляем в (1) $$ \frac{2x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{3}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2(x+3)} $$ теперь можно найти интеграл
3. Находим интеграл. $$ \int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx = \int ( \frac{3}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2(x+3)} )dx = $$ применяем формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\)$$ = \int \frac{3}{2(x+1)}dx - \int \frac{1}{x+2}dx - \int \frac{1}{2(x+3)}dx= $$$$ \frac{3}{2}\ln(x+1) - \ln(x+2) - \frac{1}{2}\ln(x+3) + C$$
Ответ: \( \int \frac{2x+5}{x^3+6x^2+11x+6}dx = \frac{3}{2}\ln(x+1) - \ln(x+2) - \frac{1}{2}\ln(x+3) + C \)
