Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{ \cos(x)-2 \sin(x)+1}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку \( t = tg(\frac{x}{2}) => \) $$ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$ применяем подстановку $$ \int \frac{1}{ \cos(x)-2 \sin(x)+1}dx = \int \frac{1}{ \frac{1 - t^2}{1+t^2}- 2\frac{2t}{1+t^2}+1}\frac{2}{1+t^2}dt = $$$$ = \int \frac{2}{1-t^2- 4t+1+t^2}dt = - \int \frac{2}{4t - 2}dt = $$$$ = - \int \frac{1}{2(t - \frac{1}{2})}dt = -\frac{1}{2} \ln(t - \frac{1}{2}) + C$$ применяем обратную замену \( t = tg(\frac{x}{2}) \), получаем $$ = -\frac{1}{2} \ln(tg(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}) + C = -\frac{1}{2} \ln(tg(2\frac{x}{2}) - 1) + C_1$$
Ответ: \( \int \frac{1}{ \cos(x)-2 \sin(x)+1}dx = -\frac{1}{2} \ln(tg(2\frac{x}{2}) - 1) + C_1\)
