Найдем интеграл: \( \int\frac{3x-1}{x^2+9}dx \)
Решение: проведем преобразование $$\int \frac{3x-1}{x^2+9}dx = \int (\frac{3x}{x^2+9} - \frac{1}{x^2+9})dx = $$ воспользуемся двумя свойством линейности неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов \( \int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\), и константу можно выносить за знак интеграла \( \int af(x)dx = a\int f(x)\) , получим $$ = 3\int \frac{x}{x^2+9}dx - \int \frac{1}{x^2+9}dx = \quad (1)$$ Найдем интегралы отдельно
интеграл \( \int \frac{x}{x^2+9}dx \) будем решать методом введения замены. Из формулы видно, что числитель - производная знаменателя, поэтому введем замену \(x^2 +9 = t => 2xdx = dt => xdx = \frac{1}{2}dt\), подставляем \( = \int \frac{1}{2t}dt = \frac{1}{2}\ln(t) + C\). Применяем обратную замену \(t = x^2+9\), получаем \( = \frac{1}{2}\ln(x^2+9) + C\)
интеграл \( \int \frac{1}{x^2+9}dx \) применяем формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a}) \), получаем \(\int \frac{1}{x^2+9}dx = \frac{1}{3}arctg(\frac{x}{3})\)
подставляем результаты в (1) $$ = \frac{3}{2}\ln(x^2+9) - \frac{1}{3}arctg(\frac{x}{3}) + C $$
Ответ: \( \int\frac{3x-1}{x^2+9}dx = \frac{3}{2}\ln(x^2+9) - \frac{1}{3}arctg(\frac{x}{3}) + C$$ \)
