Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}} \)
Решение: находить интеграл будет методом замены переменной. В формуле видим \(tg(x)\) и \( \frac{1}{\cos^2(x)}\). Согласно таблицы производных \( (tg(x))' = \frac{1}{ \cos^2(x)}\), т.е. понятно, какую будем вводить замену \( tg(x) + 1 = t => \frac{1}{\cos^2(x)}dx = dt\). Применяем замену $$ \int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}} = \int \frac{dt}{ \sqrt{t}} = \int t^{-\frac{1}{2}}dt = $$ применяем табличный интеграл от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C\), получаем $$ = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}t^{1-\frac{1}{2}} +C = 2\sqrt{t} + C$$ применяем обратную замену \( t =tg(x) + 1 \), получаем $$ = 2\sqrt{tg(x) + 1} + C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}} = 2\sqrt{tg(x) + 1} + C$$ \)
