Найдем интеграл: \( \int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\sin^2(x)}dx \)
Решение: преобразуем подынтегральное выражение, применим формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), подставляем в интеграл $$ \int \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos^2(x)\sin^2(x)}dx = \int (\frac{1}{\sin^2(x)} - \frac{1}{\cos^2(x)})dx = $$ Воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов \( \int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\), получаем $$ = \int \frac{1}{\sin^2(x)}dx - \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx = $$ применяем табличный интеграл от тригонометрических функций \( \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx = tg(x) +C \), \( \int \frac{1}{\sin^2(x)}dx = -ctg(x) +C \), подставляем $$ = -ctg(x) - tg(x) + C = - \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} + C = -\frac{2}{\sin(2x)} + C$$
Ответ: \( \int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\sin^2(x)}dx = -\frac{2}{\sin(2x)} + C \)
