Найдем интеграл: \( \int \frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x} dx \)
Решение: преобразуем подынтегральное выражение, откроем скобки в числителе $$\frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x} = \frac{2x - 2\sqrt{2x}\sqrt[3]{3x} +\sqrt[3]{(3x)^2}}{x} = 2 - 2^{\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{6}} + 3^{\frac{2}{3}}x^{-\frac{1}{3}} $$ подставляем в интеграл, получаем $$\int (2 - 2^{\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{6}} + 3^{\frac{2}{3}}x^{-\frac{1}{3}} )dx = $$ Воспользуемся двумя свойством линейности неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов \( \int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\), и константу можно выносить за знак интеграла \( \int af(x)dx = a\int f(x)\) получаем $$ 2\int dx - 2^{\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{3}} \int x^{-\frac{1}{6}}dx + 3^{\frac{2}{3}} \int x^{-\frac{1}{3}}dx$$ применяем формулу интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$2x - 2^{\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{3}}*\frac{1}{1-\frac{1}{6}} x^{1-\frac{1}{6}} + 3^{\frac{2}{3}}*\frac{1}{1-\frac{1}{3}}x^{1-\frac{1}{3}} +C = 2x - 2^{\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{3}}\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + 3^{\frac{2}{3}}*\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C = $$$$ = 2x - \frac{2^{\frac{5}{2}}3^{\frac{4}{3}}}{5} x^{\frac{5}{6}} + \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2}x^{\frac{2}{3}} +C$$
Ответ: \( \int \frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x} dx = 2x - \frac{2^{\frac{5}{2}}3^{\frac{4}{3}}}{5} x^{\frac{5}{6}} + \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2}x^{\frac{2}{3}} +C \)
