Как известно, для исследования функции на монотонность и нахождения экстремумов необходимо найти первую производную функции. Согласно условия задачи, функция \( F(x) \) - первообразная функции \( y \), т.е. согласно определения первообразной функция \( y \) это уже и есть первая производная, поэтому для исследования на монотонноть и нахождения экстремумов приравняем ее к 0 и определим знак производной на полученных интервалах.
$$(25x - x^3)\sqrt{x-3} = 0 => x*(25 - x^2)\sqrt{x-3} = 0 =>x*(x -5)*(x+5)*\sqrt{x-3} = 0$$ получили 4 точки \( x =-5, x=0, x=3, x=5\), однако по ОДЗ для корня получим \( x - 3 \geq 0 => x \geq 3\), т.е. будем рассматривать функцию на интервале \( [3; +\infty) \). На этом интервале находится всего 2 ситационарные точки, одна из которых - граница интервала, т.е. \( x = 3\) не является экстремумом . Найдем знак производной на интервалах
- \( x \in (3;5), y < 0\) - интервал монотонного убывания функции
- \( x \in (5; +\infty), y > 0\) - интервал монотонного возрастания функции
То что касается экстремумов, в точке \( x = 5\) - точка минимума, так как знак производной меняется с - на +.
