Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} \)
Решение: будем находить данный интеграл методом замены. Введем замену, при которой можно избавиться от корня \( \sqrt{x}+1 = t \), выразим \(x(t)\) $$ x = (t-1)^2 => dx = 2(t-1)dt $$ Применяем замену $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1} =\int \frac{2(t -1)}{t}dt= $$$$ = 2\int(1-\frac{1}{t})dt = 2(t- \ln(t)) + C$$ применяем обратную замену \( t = \sqrt{x}+1 \), получаем $$ = 2(\sqrt{x}+1- \ln(\sqrt{x}+1)) + C = 2\sqrt{x}-2 \ln(\sqrt{x}+1) + C_1$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}= 2\sqrt{x}-2 \ln(\sqrt{x}+1) + C_1 \)
