Найдем интеграл: \( \int \frac{x}{x^3-1}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого
1. применим формулу разности кубов к знаменателю \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\), получаем \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\)
2. представим дробь в виде суммы следующих дробей \( \frac{x}{x^3-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{x}{x^3-1} = \frac{A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( x = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)\). Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A-С = 0\\ A -B + C = 1 \\ A+B =0\end{cases}=> \begin{cases} C = A\\ A = \frac{1}{3} \\ B =-A\end{cases}=> \begin{cases} C = \frac{1}{3}\\ A = \frac{1}{3} \\ B =-\frac{1}{3}\end{cases}$$ подставляем в (1) \( \frac{x}{x^3-1} = \frac{1}{3(x-1)} + \frac{-x+1}{3(x^2+x+1)} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{x}{x^3-1}dx = \int ( \frac{1}{3(x-1)} + \frac{-x+1}{3(x^2+x+1)})dx = $$$$ = \frac{1}{3} \ln(x-1) - \int \frac{x-1}{3(x^2+x+1)}dx +C = \quad (2)$$
найдем интеграл \(\int \frac{x-1}{3(x^2+x+1)}dx\) приведем числитель к виду производной знаменателя, т.е. к виду\((x^2+x+1)' = 2x+1\)
\( \int \frac{2x+1-3}{6(x^2+x+1)}dx = \int \frac{2x+1}{6(x^2+x+1)}dx - \int \frac{3}{6(x^2+x+1)}dx \)
найдем интеграл \( \int \frac{2x+1}{6(x^2+x+1)}dx = \) введем замену \(x^2+x+1 = t => (2x+1)dx = dt\), получаем \( \frac{1}{6}\int \frac{1}{t}dt = \frac{1}{6} \ln(t) = \frac{1}{6} \ln(x^2+x+1)\)
найдем интеграл \( \int \frac{3}{6(x^2+x+1)}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x+1}dx \) выделим полный квадрат в знаменателе \( x^2+x+1 = x^2+2\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\), для того чтобы применить формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a}) + C\), получаем \(\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx =\) \( \frac{1}{2} \frac{1}{ \sqrt{ \frac{3}{4}}}arctg( \frac{x+\frac{1}{2}}{ \sqrt{ \frac{3}{4}}}) = \frac{1}{ \sqrt{3}}arctg( \frac{2x+1}{ \sqrt{3}})\)
подставляем результаты в (2)
$$ = \frac{1}{3} \ln(x-1) - (\frac{1}{6} \ln(x^2+x+1) - \frac{1}{ \sqrt{3}}arctg( \frac{2x+1}{ \sqrt{3}})) +C $$
Ответ: \( \int \frac{x}{x^3-1}dx = \frac{1}{6} (2 \ln(x-1) - \ln(x^2+x+1) + 2\sqrt{3}arctg( \frac{2x+1}{ \sqrt{3}})) + C \)
