Найдем интеграл: \( \int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx \)
Решение: будем находить данный интеграл методом замены. Введем замену, при которой можно избавиться от корня \( \frac{1+x}{1-x} = t^2 \), выразим \(x(t)\) $$ \frac{1+x}{1-x} = t^2 => 1+x = t^2(1-x) =>$$$$ x = \frac{t^2-1}{t^2+1} => dx = \frac{2t(t^2+1) - 2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2} => $$$$dx = \frac{4t}{(t^2+1)^2}$$ Применяем замену $$\int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx =\int \sqrt{t^2}*\frac{1}{1-\frac{t^2-1}{t^2+1}}\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt = $$$$ = \int t*\frac{t^2+1}{2}\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt = \int \frac{2t^2}{t^2+1}dt = $$ выделяем целую часть в числителе $$ = 2\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt =2\int (1 - \frac{1}{t^2+1})dt =2(t-arctg(t)) + C$$ применяем обратную замену \( \frac{1+x}{1-x} = t^2 => t = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \), получаем $$ = 2( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-arctg( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}})) + C$$
Ответ: \( \int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx = 2( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-arctg( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}})) + C \)
