Найдем интеграл: \int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx
Решение: будем находить данный интеграл методом замены. Введем замену, при которой можно избавиться от корня \frac{1+x}{1-x} = t^2 , выразим x(t) \frac{1+x}{1-x} = t^2 => 1+x = t^2(1-x) =>
x = \frac{t^2-1}{t^2+1} => dx = \frac{2t(t^2+1) - 2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2} =>
dx = \frac{4t}{(t^2+1)^2}
Применяем замену
\int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx =\int \sqrt{t^2}*\frac{1}{1-\frac{t^2-1}{t^2+1}}\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt =
= \int t*\frac{t^2+1}{2}\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt = \int \frac{2t^2}{t^2+1}dt =
выделяем целую часть в числителе
= 2\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt =2\int (1 - \frac{1}{t^2+1})dt =2(t-arctg(t)) + C
применяем обратную замену
\frac{1+x}{1-x} = t^2 => t = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} , получаем
= 2( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-arctg( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}})) + C
Ответ:
\int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}*\frac{1}{1-x}dx = 2( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-arctg( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}})) + C 
