Построим фигуру, площадь которой необходимо найти (см. рис 1).

(рис. 1)
Это закрашенная фигура. Геометрический смысл интеграла - площадь фигуры, ограниченная сверху кривой, снизу осью x на заданном отрезке. Найдем отрезок - отрезок между точками пересечения кривых. Найдем эти точки. В точке пересечения кривых x, y у них равны, поэтому приравняем уравнения и найдем x \begin{cases}y-2 = 0\\ y = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ 2 = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ x = \pm 1 \end{cases}
т.е. мы получили нижнюю и верхняя границы интеграла. Фигура, ограниченной прямой
y -2 =0 на отрезке
[-1;1] - это прямоугольник (ограничен прямой, осью
x и перпендикулярами из точек пересечения), его площадь равна
S_1 = a*b, где
a =2, b=2,
S_1 = 4 . Фигура, ограниченная кривой
y = 1 + x^2 - сверху ограничена кривой, снизу осью
x , по бокам перпендикулярами из точек пересечения, по определению - определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке, получаем
S_2 = \int_{-1}^{1}(1+x^2) dx = x + \frac{1}{3}x^3 |_{-1}^{1} = 1 + \frac{1}{3} - (-1-\frac{1}{3}) = 2\frac{2}{3}
площадь закрашенной фигуры - разность двух площадей
S = S_1 - S_2 = 4 - 2\frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}
Ответ: площадь фигуры равна S = 1\frac{1}{3}