Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 1+ x^2$ и прямой $y-2 =0$

Построим фигуру, площадь которой необходимо найти (см. рис 1).

(рис. 1)

Это закрашенная фигура. Геометрический смысл интеграла - площадь фигуры, ограниченная сверху кривой, снизу осью $x$ на заданном отрезке. Найдем отрезок - отрезок между точками пересечения кривых. Найдем эти точки. В точке пересечения кривых  $x, y$ у них равны, поэтому приравняем уравнения и найдем $x$

$$\begin{cases}y-2 = 0\\ y = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ 2 = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ x = \pm 1 \end{cases}$$ т.е. мы получили нижнюю и верхняя границы интеграла. Фигура, ограниченной прямой $y -2 =0$ на отрезке $[-1;1]$ - это прямоугольник (ограничен прямой, осью $x$ и перпендикулярами из точек пересечения), его площадь равна $S_1 = a*b$, где $a =2, b=2$,  $S_1 = 4$. Фигура, ограниченная кривой $y = 1 + x^2$ - сверху ограничена кривой, снизу осью $x$, по бокам перпендикулярами из точек пересечения, по определению - определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке, получаем $$S_2 = \int_{-1}^{1}(1+x^2) dx = x + \frac{1}{3}x^3 |_{-1}^{1} = 1 + \frac{1}{3} - (-1-\frac{1}{3}) = 2\frac{2}{3}$$ площадь закрашенной фигуры - разность двух площадей $$S = S_1 - S_2 = 4 - 2\frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$$

 Ответ: площадь фигуры равна $S  = 1\frac{1}{3}$