Найдем интеграл: \( \int \frac{x^2dx}{(x+2)(x-1)^2}\)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого представим дробь в виде суммы следующих дробей \( \frac{x^2}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-1)^2} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{x^2}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A(x^2-2x +1) + B(x^2+x-2) + C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( x^2 = A(x^2-2x +1) + B(x^2+x-2) + C(x+2)\). Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A-2B+2C = 0\\ -2A +B + C = 0 \\ A+B =1\end{cases}=> \begin{cases} 1-B-2B+2C = 0\\ -2 + 2B + B + C = 0 \\ A = 1-B\end{cases} => $$$$ \begin{cases} 1-2 + С+2C = 0\\ 3B =2 -C \\ A = 1-B\end{cases} => \begin{cases} C = \frac{1}{3} \\ B = \frac{5}{9} \\ A = \frac{4}{9} \end{cases} $$ подставляем в (1) \(\frac{x}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{4}{9(x+2)} + \frac{5}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{x}{x^3-3x+2}dx = \int ( \frac{4}{9(x+2)} + \frac{5}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2})dx = $$$$ = \int \frac{4}{9(x+2)}dx + \int \frac{5}{9(x-1)}dx + \int \frac{1}{3(x-1)^2}dx =$$ применим табличную формулу интеграла от функции \(y = \frac{1}{x}\), получаем \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \), и интеграла степенной функции \( \int x^{a}dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\), получаем $$ = \frac{4}{9} \ln(x+2) + \frac{5}{9} \ln(x-1) - \frac{1}{3(x-1)} +C = \frac{1}{9} (4 \ln(x+2) + 5 \ln(x-1) - \frac{3}{x-1}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{x^2dx}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{1}{9} (4 \ln(x+2) + 5 \ln(x-1) - \frac{3}{x-1}) + C \)
