Из определения интеграла следует, что в задаче необходимо
- найти первообразную, т.е. мы получаем множество кривых, которые являются первообразными функции, они все будут отличаться только значением константы \( C \), т.е. все первообразные - множество всех функций, которые получается путем параллельного переноса вдоль оси \( y\) на \( C \)
- найти значение константы \( C \) путем подставления значения точки \(A\), т.е. выбираем только ту кривую из множества, которая проходит через эту точку, а это может быть только одна кривая (они же параллельны друг другу и не могут пересекаться)
Находим первообразную $$\int (\frac{2}{\sqrt{4x+13}} -\frac{3}{x^2}) dx =$$на основании свойства интеграла суммы двух функций получим$$ = \int \frac{2}{\sqrt{4x+13}} dx - \int \frac{3}{x^2} dx$$найдем отдельно каждый интеграл
$$ \int \frac{2}{\sqrt{4x+13}} dx = $$ найдем неопределенный интеграл путем приведения его к табличному интегралу степенной функции $$ = \int 2 (4x+13)^{-\frac{1}{2}} dx$$ сравнивая с табличным, видим, что вместо переменной \( x \) у нас выражение \( 4x + 13 \), применим метод введения новой переменной, обозначим \( 4x+13 = u\), теперь найдем, чему равняется \( x \) и \( dx \)
\( 4x+13 = u =>x = \frac{u-13}{4}\),
\( dx = (\frac{u-13}{4})'du = \frac{1}{4} du\), подставим полученный результат в интеграл $$ \int 2 u^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{4} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} = $$$$= \frac{1}{2} \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{2} *2 * u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u}$$проведем обратную замену и получим $$\int \frac{2}{\sqrt{4x+13}} = \sqrt{4x+13}$$
найдем второй интеграл \(\int \frac{3}{x^2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -3 x^{-1} = -3 \frac{1}{x}\)
Запишем итоговое уравнение первообразной $$\int (\frac{2}{\sqrt{4x+13}} -\frac{3}{x^2}) dx = \sqrt{4x+13} - 3 \frac{1}{x} +C $$
Находим значение константы \( C \), подставим значение точки \( A(-3;-2) \) $$ F(A) = \sqrt{4x+13} - 3 \frac{1}{x} +C =>$$$$ -2 = \sqrt{4*(-3)+13} - 3 \frac{1}{-3} +C =>-2 = 1 + 1 + C => C = -4$$
Ответ: уравнение первообразной, проходящей через точку \( A(-3;-2)\) равно \(F(x) = \sqrt{4x+13} - 3 \frac{1}{x} -4\)
