Найдем интеграл: \( \int x^3\sqrt{1-2x} dx \)
Решение: будем находить данный интеграл методом замены. Введем замену, при которой можно избавиться от корня \( 1-2x = t^2 => -dx = tdt\), найдем переменную \(x\), \( 1-2x = t^2 => x = \frac{1-t^2}{2}\). Подставляем в интеграл $$ \int x^3\sqrt{1-2x} dx = -\int ( \frac{1-t^2}{2})^3\sqrt{t^2} tdt =>-\int ( \frac{1-t^2}{2})^3t^2dt$$ Применяем формулу сокращенного умножения - формулу куба разности двух величин \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\), получаем $$-\int \frac{1-3t^2 + 3t^4 - t^6}{8}t^2dt = -\frac{1}{8} ( \int t^2dt - 3\int t^4dt + 3 \int t^6dt - \int t^8td)$$Применяем табличный интеграл степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ =- \frac{1}{8}( \frac{1}{2+1}t^{2+1} - \frac{3}{4+1}t^{4+1} + \frac{3}{6+1}t^{6+1} - \frac{1}{8+1}t^{8+1}) +C = $$$$ =- \frac{1}{8}( \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{5}t^{5} + \frac{3}{7}t^{7} - \frac{1}{9}t^{9}) +C= $$$$ = -\frac{1}{8} t^{3} ( \frac{1}{3} - \frac{3}{5}t^{2} + \frac{3}{7}t^{4} - \frac{1}{9}t^{6} ) +C = $$ применяем обратную замену \(1-2x = t^2 => t = \sqrt{1-2x}\) $$ = - \frac{1}{8} (1-2x)^{\frac{3}{2}} ( \frac{1}{3} - \frac{3}{5}(1-2x) + \frac{3}{7}(1-2x)^{2} - \frac{1}{9}(1-2x)^{3} ) + C $$
Ответ: \( \int x^3\sqrt{1-2x} dx = - \frac{1}{8} (1-2x)^{\frac{3}{2}} ( \frac{1}{3} - \frac{3}{5}(1-2x) + \frac{3}{7}(1-2x)^{2} - \frac{1}{9}(1-2x)^{3} ) + C \)
