Найдем интеграл: \( \int \frac{4x+2\sqrt[4]{x^3}+3x^7}{x^2}dx \)
Решение: проведем преобразования $$\int \frac{4x+2\sqrt[4]{x^3}+3x^7}{x^2}dx = \int (\frac{4x}{x^2}+2\frac{\sqrt[4]{x^3}}{x^2}+\frac{3x^7}{x^2})dx = $$$$ = \int (\frac{4}{x}+2\frac{1}{x^{2-\frac{3}{4}}}+3x^5)dx = \int \frac{4}{x}dx +2 \int x^{-\frac{5}{4}}dx + 3 \int x^5dx$$ Применяем табличный интеграл степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\) и \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = 4\ln(x) + 2 \frac{1}{-\frac{5}{4} +1} x^{-\frac{5}{4}+1} + 3 \frac{1}{5+1}x^{5+1} + C = 4\ln(x) - 8 x^{-\frac{1}{4}} + \frac{1}{2}x^{6} + C$$
Ответ: \( \int \frac{4x+2\sqrt[4]{x^3}+3x^7}{x^2}dx = 4\ln(x) - 8 x^{-\frac{1}{4}} + \frac{1}{2}x^{6} + C \)
