Найдем интеграл: \( \int \frac{ \cos(x)}{ \sin^5(x)}dx \)
Решение: числитель дроби является производной знаменателя \( (\sin(x))' = \cos(x)\), поэтому решать будем методом замены \( \sin(x) = t => \cos(x)dx = dt\). Подставляем замену, получаем $$ \int \frac{ \cos(x)}{ \sin^5(x)}dx = \int \frac{1}{ t^5}dt = \int t^{-5}dt = $$ применяем табличный интеграл от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{-5+1}t^{-5+1} + C = -\frac{1}{4}t^{-4} + C$$ Применяем обратную замену \(\sin(x) = t\), получаем $$ = -\frac{1}{4}\sin^{-4}(x) + C$$
Ответ: \( \int \frac{ \cos(x)}{ \sin^5(x)}d = -\frac{1}{4}\sin^{-4}(x) + C \)
