Найдем интеграл: \( \int \frac{3x-2}{x^2-x+1}dx \)
Решение: проведем преобразования, числитель дроби можно привести к производной знаменателя и применить замену \((x^2 - x + 1)' = 2x - 1\), получаем $$\int \frac{3x-2}{x^2-x+1}dx = \frac{3}{2}\int \frac{2x- 1 - \frac{1}{3}}{x^2-x+1}dx = $$$$ = \frac{3}{2}( \int \frac{2x- 1 - \frac{1}{3}}{x^2-x+1}dx - \frac{1}{3}\int \frac{1}{x^2-x+1}dx) \quad (1)$$Находим интегралы отдельно
\( \int \frac{2x- 1}{x^2-x+1}dx =\), применяем замену \(x^2 - x + 1 = t => (2x-1)dx = dt\), получаем \( \int \frac{1}{t}dt = \ln(t) + C =\) применяем обратную замену \( \ln(x^2 - x + 1) + C\)
\( \int \frac{1}{x^2-x+1}dx = \) выделим полный квадрат в знаменателе \( x^2-x+1 = x^2- 2*\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}+1 = (x- \frac{1}{2})^2 + ( \sqrt{\frac{3}{4}})^2\), получаем \( \int \frac{1}{ (x- \frac{1}{2})^2 + ( \sqrt{\frac{3}{4}})^2}dx = \) применяем табличный интеграл \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} arctg(\frac{x}{a}) + C \), получаем \( = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3}}{2}}arctg( \frac{x - \frac{1}{2}}{ \frac{ \sqrt{3}}{2}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}}arctg( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C \)
подставляем результаты в (1) $$ = \frac{3}{2}( \ln(x^2 - x + 1) -\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{1}{3} arctg( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C) = \frac{3}{2} \ln(x^2 - x + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}}arctg( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx = \frac{3}{2} \ln(x^2 - x + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}}arctg( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C \)
