Найдем предел: $$ \lim_{ x \to +\infty} x( \ln(x+6) - \ln(x))$$
Решение:
1. Найдем предел функции при \( x \to +\infty \) $$ \lim_{ x \to +\infty} x( \ln(x+6) - \ln(x)) = \infty*\infty - \infty$$ получили неопределенность.
Для разрешения этой неопределенности проведем преобразования.
2. Преобразования. $$ \lim_{ x \to +\infty} x( \ln(x+6) - \ln(x)) =$$ применим формулу разности логарифмов \( \log_ab - \log_ac = \log_a \frac{b}{c}\)$$ \lim_{ x \to +\infty} x( \ln \frac{x+6}{x}) = $$находим предел, учитываем, что \( \lim_{ x \to +\infty} \ln \frac{x+6}{x} =0\) $$ = \infty * 0$$ получили неопределенность вида \(\infty * 0\), преобразуем ее к неопределенности вида \( \frac{0}{0}\), чтобы далее применить правило Лопиталя. $$ \lim_{ x \to +\infty} x( \ln \frac{x+6}{x}) = \lim_{ x \to +\infty} \frac{\ln \frac{x+6}{x}}{ \frac{1}{x}} = \frac{0}{0}$$ Применяем правило Лопиталя.
3. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{ x \to +\infty} \frac{(\ln \frac{x+6}{x})'}{ (\frac{1}{x})'} = $$ применяем формулы производной сложной функции и логарифмической функций в числителе и дроби взнаменателе отдельно $$ = \lim_{ x \to +\infty} \frac{ \frac{1}{ \frac{x+6}{x}}*\frac{x-x-6}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{ x \to +\infty} \frac{x}{x+6}\frac{-6}{x^2}(-x^2) = $$$$ = \lim_{ x \to +\infty}\frac{6x}{x+6} = \lim_{ x \to +\infty}\frac{x}{x}\frac{6}{1+\frac{6}{x}}= \frac{6}{1+0} = 6$$
4. Ответ: \( \lim_{ x \to +\infty} x( \ln(x+6) - \ln(x)) = 6 \)
