Найти производную функции: \(y = \frac{(x+2)^3 \sqrt[3]{x-3}}{(x-2)^4}\)
Решение: применим формулу производной произведения дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
$$ (\frac{(x+2)^3 \sqrt[3]{x-3}}{(x-2)^4})' = \frac{((x+2)^3 \sqrt[3]{x-3})'(x-2)^4 - (x+2)^3 \sqrt[3]{x-3}((x-2)^4)'}{(x-2)^8} \quad (1)$$применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), получим \( ((x+2)^3 \sqrt[3]{x-3})' = ((x+2)^3)' \sqrt[3]{x-3} + (x+2)^3 (\sqrt[3]{x-3})' = 3(x+2)^2\sqrt[3]{x-3} + (x+2)^2\frac{1}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}}\)
\(((x-2)^4)' = 4(x-2)^3\), подставляем в (1) $$ = \frac{(3(x+2)^2\sqrt[3]{x-3} + (x+2)^2\frac{1}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}})(x-2)^4 - (x+2)^3 \sqrt[3]{x-3}(4(x-2)^3)}{(x-2)^8} = $$$$ = (x+2)^2\frac{(3\sqrt[3]{x-3} + (x+2)\frac{1}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}})(x-2) - 4(x+2) \sqrt[3]{x-3}}{(x-2)^5} =$$$$ = (x+2)^2\frac{(9(x-3) + x+2)(x-2) - 12(x+2)(x-3)}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}(x-2)^5}
= $$$$ = -(x+2)^2\frac{2x^2+33x-122}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}(x-2)^5} $$
Ответ: производная функции равна \((\frac{(x+2)^3 \sqrt[3]{x-3}}{(x-2)^4})' = -(x+2)^2\frac{2x^2+33x-122}{3(x-3)^{\frac{2}{3}}(x-2)^5} \)
