Найти производную функции: \(y = 3^{x^3+1}e^{tg(5x)}\)
Решение: применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), получим $$y = (3^{x^3+1})'e^{tg(5x)} + 3^{x^3+1}(e^{tg(5x)})' \quad (1)$$ применим формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\). Найдем отдельно производные каждого множителя
\( (3^{x^3+1})' = 3^{x^3+1}\ln(3)*3x^2 \)
\((e^{tg(5x)})' = e^{tg(5x)} \frac{5}{ \cos^2(5x)} \).
Подставляем в (1)
$$ =3^{x^3+1}\ln(3)*3x^2e^{tg(5x)} + 3^{x^3+1}e^{tg(5x)} \frac{5}{ \cos^2(5x)} = 3^{x^3+1}e^{tg(5x)}(3\ln(3)x^2 + \frac{5}{ \cos^2(5x)})$$
Ответ: производная функции равна \((3^{x^3+1}e^{tg(5x)})' = 3^{x^3+1}e^{tg(5x)}(3\ln(3)x^2 + \frac{5}{ \cos^2(5x)})\)
