Найдем интеграл: \int \frac{x+1}{2^x}dx
Решение: применим формулу интегрирования по частям \int udv = u*v - \int vdu \quad (1)
Введем обозначения x+1 = u => dx=du, а dv = \frac{1}{2^x}dx => v = \int 2^{-x}dx = - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)} , подставляем в формулу (1) \int \frac{x+1}{2^x}dx = - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}*(x+1) + \int \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}dx = - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}*(x+1) - \frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)} + C = - 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C
Ответ: \int \frac{x+1}{2^x}dx = - 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C
Проверка: проверяем решение методом дифференцирования (- 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C )' = \frac{1}{ \ln^2(2)}(- 2^{-x}(\ln(2)(x+1) + 1))' = применяем формулу производной произведения (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), получим = \frac{1}{ \ln^2(2)}[(- 2^{-x})'(\ln(2)(x+1) + 1) - 2^{-x}(\ln(2)(x+1) + 1)') ] = =\frac{1}{ \ln^2(2)}[( 2^{-x}\ln(2)(\ln(2)(x+1) + 1) - 2^{-x}\ln(2) ] = =\frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)}[( \ln^2(2)x +\ln^2(2) + \ln(2) - \ln(2) ] = \frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)}[( \ln^2(2)x +\ln^2(2)] = = 2^{-x}( x+1) = \frac{x+1}{ 2^{x}}
