Найдем интеграл: \( \int \frac{x}{x^3-3x+2}dx \)
Решение: найдем целые корни кубического уравнения (если они есть). Будем искать корни среди делителей свободного члена, получаем \( \pm 1; \quad \pm 2 \), проверяем, является ли корнем \(x = 1\), получаем \( 1^3-3*1+2 = 0\) - корень кубического уравнения. Найдем остальные корни, разделим кубическое уравнение на многочлен первой степени \(x - 1\), получим . \( \frac{x^3-3x+2}{x - 1} = x^2 + x -2 \). Получили квадратное уравнение, найдем корни этого уравнения \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4*2}}{2} => x_1 = -2; \quad x_2 = 1\). Получили корни \(x_1=-2; \quad x_2 = 1; \quad x_3 = 1\). Подставляем результат в формулу интеграла $$ \int \frac{x}{x^3-3x+2}dx = \int \frac{x}{(x+2)(x-1)^2}dx$$
Для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов \( \frac{x}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-1)^2} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{x}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A(x^2-2x +1) + B(x^2+x-2) + C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( x = A(x^2-2x +1) + B(x^2+x-2) + C(x+2)\) $$\begin{cases} A-2B+2C = 0\\ -2A +B + C = 1 \\ A+B =0\end{cases}=> \begin{cases} -B-2B+2C = 0\\ 2B + B + C = 1 \\ A = -B\end{cases} => $$$$ \begin{cases} -1 + C+2C = 0\\ 3B =1 -C \\ A = -B\end{cases} => \begin{cases} C = \frac{1}{3} \\ B = \frac{2}{9} \\ A = -\frac{2}{9} \end{cases} $$ подставляем в (1) \(\frac{x}{(x+2)(x-1)^2} = - \frac{2}{9(x+2)} + \frac{2}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{x}{x^3-3x+2}dx = \int (- \frac{2}{9(x+2)} + \frac{2}{9(x-1)} + \frac{1}{3(x-1)^2})dx = $$$$ = -\int \frac{2}{9(x+2)}dx + \int \frac{2}{9(x-1)}dx + \int \frac{1}{3(x-1)^2}dx =$$ применим табличную формулу интеграла от функции \(y = \frac{1}{x}\), получаем \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \), и интеграла степенной функции \( \int x^{a}dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\), получаем $$ = -\frac{2}{9} \ln(x+2) + \frac{2}{9} \ln(x-1) - \frac{1}{3(x-1)} +C = \frac{1}{9} (-2 \ln(x+2) + 2 \ln(x-1) - \frac{3}{x-1}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{x}{x^3-3x+2}dx = \frac{1}{9} (-2 \ln(x+2) + 2 \ln(x-1) - \frac{3}{x-1}) + C \)
