Решение: введем следующие обозначения пусть A - точка, поставленная наугад, попала в треугольник. Для решения воспользуемся формулой геометрической вероятности P(A) = \frac{S_{треуг}}{S_{круг}} \quad (1)
Площадь круга равна S_{круг} = \pi*R^2.
Площадь вписанного в круг равностороннего треугольника будем искать по формуле S_{треуг} = \frac{1}{2}a*h, где a - сторона равностороннего треугольника, h - высота треугольника. Выразим эти величины через радиус описанной окружности. Как известно высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике совпадают и пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Найдем высоту h = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}}a. В точке пересечения высоты равностороннего треугольника делятся в пропорции 2:1 => R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{4}}a = \frac{1}{\sqrt{3}}a => a = \sqrt{3}R. Подставляем в формулу площади треугольника S_{треуг} = \frac{1}{2}a*h = \frac{1}{2}a*\sqrt{\frac{3}{4}}a =>
S_{треуг} = \frac{1}{2}*\sqrt{\frac{3}{4}}(\sqrt{3}R)^2 =>
S_{треуг} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2
Подставляем в формулу геометрической вероятности
P(A) = \frac{S_{треуг}}{S_{круг}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{\pi R^2} = >
P(A) = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0,413
Ответ: вероятность попадания точки в треугольник равна
P(A) \approx 0,413 
