Запишем задачу и введем обозначения:
Определить длину дифракционной решётки \(L_{min}\), имеющей 50 щелей на 1 мм \(n= 50 *10^{3} \frac{1}{м}\), чтобы в спектре второго порядка \(k =2\) разрешить две линии натрия с длинами волн \( λ_1 = 0,5890 мкм = 0,589*10^{-6}м \) и \( λ_2 = 0,5896 мкм = 0,5896*10^{-6}м\)
Приведем ряд определений:
Ряд щелей одинаковой ширины \(b\) , расположенных на равных расстояниях друг от друга \(a\) - называются дифракционной решеткой.
Постоянная \(d = a + b\) называется постоянной дифракционной решетки.
Длина дифракционной решетки определяется формулой \(L = Nd\)
\(N\) - общее число штрихов дифракционной решетки, которое рассчитывается по формуле \(N = nL_{min}\)
\(n\) - количество штрихов на единицу длины дифракционной решетки \(1м\)
\(L_{min}\) - минимальная длина дифракционной решетки.
\(d\) - постоянная дифракционной решетки
Разрешающая способность определяет минимальную разность длин волн \(∆λ\) , при которой две линии воспринимаются на спектре раздельно.
Разрешающую способность рассчитывают по следующей формуле:
\(R_{min} = \frac{λ}{∆λ} = kN\), где
\(k\) - порядок спектра,
\(N\) - общее число штрихов дифракционной решетки,
\(∆λ\) - разность длин волн, которые видны раздельно.
$$ R_{min} = k*n*L_{min} => L_{min} = \frac{R_{min}}{k*n} \quad (1)$$
Решение:
1. Находим минимальную разрешающую способность, для этого находим \(∆λ = |λ_2 - λ_1| = |0,5896*10^{-6} - 0,5890*10^{-6}| = 0,0006*10^{-6}\).
2. Находим разрешающую способность дифракционной решеткой для волн \(λ_2 \) и \(λ_1\) и выбираем наименьшую, это и будет искомая величина
$$ R_{1} = \frac{λ_1}{∆λ} = \frac{0,5890*10^{-6}}{0,0006*10^{-6}} = 981.7$$
$$ R_{2} = \frac{λ_2}{∆λ} = \frac{0,5896*10^{-6}}{0,0006*10^{-6}} = 982,7$$ выбираем наименьший результат и получаем $$R_{min} = 981.7$$ Подставляем результат в (1) $$L_{min} = \frac{R_{min}}{k*n} = \frac{981.7}{2*50*10^3 \frac{1}{м}} = 0.0098 м = 9.8*10^{-3}м$$
Ответ: длина дифракционной решётки \(L_{min} = 0.0098 м = 9.8*10^{-3}м\)
