Решим дифференциальное уравнение: y=2x(y')^{2}+y^{2}
Решение: приведем это уравнение к уравнению вида \frac{dy}{dx} = f(x)g(y), т.е. к уравнению с разделяющимися переменными. y=2x(y')^{2}+y^{2} => 2x(y')^{2} = y -y^{2}
(y')^{2} = \frac{y -y^2}{2x} => y' = \pm \sqrt{\frac{y -y^2}{2x}} =>
перенесем все переменные с
x вправо, а с
y влево
\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{ \frac{ y -y^2}{2x}} => \frac{dy}{ \sqrt{y -y^2}} = \pm \frac{dx}{\sqrt{2x}}
Найдем интеграл от правой и левой части уравнения
\int \frac{dy}{ \sqrt{y -y^2}} = \pm \int \frac{dx}{\sqrt{2x}} =>
в знаменателе интеграла по
y выделим полный квадрат
\int \frac{dy}{\sqrt{-(y^2 -2*\frac{1}{2}y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})}} = \pm \sqrt{2x} +C => \int \frac{dy}{ \sqrt{-((y -\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4})}} = \pm \sqrt{2x} +C =>
\int \frac{dy}{ \sqrt{\frac{1}{4} - (y -\frac{1}{2})^2 }} = \pm \sqrt{2x} +C =>
применяем формулу табличного интеграл арксинуса
\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin( \frac{x}{a}) + C, получаем
\arcsin( \frac{y -\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}) = \pm \sqrt{2x} +C => \arcsin( 2y - 1) = \pm \sqrt{2x} +C =>
2y -1 = \sin( \pm \sqrt{2x} +C) => y = \frac{\sin( \pm \sqrt{2x} +C)}{2} + \frac{1}{2}
можно воспользоваться нечетностью синуса и вынести знак, при этом помним, что
C - произвольная постоянная
y = \pm \frac{\sin( \sqrt{2x} +C_1)}{2} + \frac{1}{2}
Проверяем точку
x =0, является ли она решением дифференциального уравнения методом подстановки. Эта точка является решением уравнения.
Ответ:
y = \pm \frac{\sin( \sqrt{2x} +C_1)}{2} + \frac{1}{2} 
