Решить дифференциальное уравнение $$y = xy' + \frac{y'}{ \ln(y')}$$

Решить дифференциальное уравнение: $y = xy' + \frac{y'}{ \ln(y')}$
Решение: данное дифференциальное уравнение является частным случаем уравнения Лагранжа $y = \phi(y')x + \psi(y')$, при условии что $\phi(y') = y'$. 

Это уравнение называется уравнением Клеро

$$y = y'x + \psi(y')$$
Данное уравнение решается по следующему алгоритму:

1. Применяем замену $y' = \frac{dy}{dx} = p => dy = pdx$.
Подставляем замену в дифференциальное уравнение

$$y = xy' + \frac{y'}{ \ln(y')} => y = xp + \frac{p}{ \ln(p)}$$
2. Дифференцируем уравнение: $$dy = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - \frac{p}{p}}{ \ln^2(p)}dp => dy = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp =>$$ из пункта (1)  учтем, что $dy = pdx$, подставляем $$pdx = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp => 0 = xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp =>$$ выносим за скобки $dp$ $$(x + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)})dp = 0 =>$$ возможны два решения этого дифференциального уравнения $$\begin{cases}dp = 0\\x + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} = 0 \end{cases} => \begin{cases}p = C\\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}  \end{cases}$$ получили, что $p$ является производной константой, т.е. $p = C$. 

3. Общее решение уравнения Клеро:
Общим решением уравнения Клеро является семейство прямых, запишем его: согласно п.2 параметр $p=C$. Подставляем значение параметра в уравнение $y = xp + \frac{p}{ \ln(p)}$, получаем

$$y = xC + \frac{C}{ \ln(C)}$$ где $C$ - произвольная постоянная. Согласно ОДЗ дроби и логарифма $C > 0; \quad C \ne 1$ => $C \in (0;1) \cup (1; +\infty)$

4. Особое решение уравнения Клеро:
особым решением уравнения Клеро является кривая при значении $x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}$, запишем его

$$\begin{cases}y = xp + \frac{p}{ \ln(p)}\\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases}  => \begin{cases}y =  \frac{p}{ \ln^2(p)} \\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases}$$

Ответ: общим решением уравнения Клеро будет семья прямых $y = xC + \frac{C}{ \ln(C)}$, где $C$ - произвольная постоянная $C \in (0;1) \cup (1; +\infty)$.
особым решением уравнения Клеро является кривая, которая огибает семью прямых общего решения

$$\begin{cases}y =  \frac{p}{ \ln^2(p)} \\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases}$$