Решим дифференциальное уравнение: \( 5y'+yx^{8}=y^{5}x^{8}e^{\frac{10}{9}x^{9}} \)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^m$$ называется уравнением Бернулли, которое переписывается в виде $$\frac{dy}{dx}*y^{-m} + p(x)y^{1-m} = q(x)$$ а далее применяя замену вида \(z = y^{1-m}\) приводим его к линейному.
Решаем уравнение: $$ 5y'+yx^{8}=y^{5}x^{8}e^{\frac{10}{9}x^{9}} => 5y'*y^{-5}+y^{-4}x^{8}=x^8e^{\frac{10}{9}x^9} =>$$ Применяем замену \(z = y^{-4} => z' = -4y^{-5}y' => y^{-5}y' = -\frac{1}{4}z' \), получаем $$5*(-\frac{1}{4}z') + zx^8 = x^8e^{\frac{10}{9}x^9} =>z' - \frac{4}{5}zx^8 = -\frac{4}{5}x^8e^{\frac{10}{9}x^9} \quad (1)$$ Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$ которое будем решать методом вариации независимой переменной (методом Лагранжа) следующими этапами
1. Находим решение однородного уравнения $$z' -\frac{4}{5}zx^8 = 0 => \frac{dz}{dx} = \frac{4}{5}zx^8 =>$$ получили уравнение с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{dz}{z} = \frac{4}{5}x^8dx => \int \frac{dz}{z} = \int \frac{4}{5}x^8dx =>$$$$ \ln(z) = \frac{4}{5(8+1)} x^{8+1} + \ln(C) => \ln(z) = \frac{4}{45} x^{9} + \ln(C)$$ Произвольная постоянная \(C\) была выбрана в виде \( \ln(C)\) для удобства дальнейшего решения. Потенцируем обе части уравнения $$z = e^{\frac{4}{45} x^{9} + \ln(C)} => z = C*e^{\frac{4}{45} x^{9}}$$
2. Находим решение неоднородного уравнения: для этого будем считать, что произвольная постоянная \(C\) равна \(C = C(x)\), т.е. решение примет вид \( z = C(x)*e^{\frac{4}{45} x^{9}} \quad (2)\). Найдем производную решения $$z' = C(x)'*e^{\frac{4}{45} x^{9}} + C(x)*e^{\frac{4}{45} x^{9}}*\frac{4}{45}*9 x^{8} => $$$$z' = C(x)'*e^{\frac{4}{45} x^{9}} + \frac{4}{5}C(x)x^8*e^{\frac{4}{45} x^{9}}$$ подставляем в неоднородное уравнение (1) $$ C(x)'*e^{\frac{4}{45} x^{9}} + \frac{4}{5}C(x)x^8*e^{\frac{4}{45} x^{9}} - \frac{4}{5}C(x)*e^{\frac{4}{45} x^{9}}x^8 = -\frac{4}{5}x^8e^{\frac{10}{9}x^9}$$если замена проведена правильно, то члены с \(C(x)\) должны взаимо уничтожиться, получаем $$ C(x)'*e^{\frac{4}{45} x^{9}} = -\frac{4}{5}x^8e^{\frac{10}{9}x^9} => C(x)' = -\frac{4}{5}x^8e^{\frac{46}{45}x^9}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int C(x)'dx = -\frac{4}{5} \int x^8e^{\frac{46}{45}x^9} => $$ применяем замену \(t = x^9 => dt = 9x^8dx => \frac{1}{9} dt = x^8dx\) $$ C(x) = -\frac{4}{5} \int \frac{1}{9}e^{\frac{46}{45}t}dt => C(x) = -\frac{4}{45}*\frac{45}{46}e^{\frac{46}{45}t} + C_1 =>$$применяем обратную замену \( t = x^9 \)$$C(x) = -\frac{2}{23}e^{\frac{46}{45}x^9} + C_1$$Подставляем формулу независимой переменной в (2) $$z =(-\frac{2}{23}e^{\frac{46}{45}x^9} + C_1)e^{\frac{4}{45} x^{9}} => $$$$ z = C_1e^{\frac{4}{45} x^{9}} -\frac{2}{23}e^{\frac{10}{9}x^9}$$Применяем повторно обратную замену \(z = y^{-4}\), получаем $$y^{-4} = C_1e^{\frac{4}{45} x^{9}} -\frac{2}{23}e^{\frac{10}{9}x^9} => y = \pm \sqrt[4]{ \frac{1}{ C_1e^{\frac{4}{45} x^{9}} -\frac{2}{23}e^{\frac{10}{9}x^9}}} =>$$$$y = \pm \sqrt[4]{ \frac{23}{ C_2e^{\frac{4}{45} x^{9}} - 2e^{\frac{10}{9}x^9}}}$$ где произвольная переменная \(C_1 \) была заменена на произвольную переменную \(C_2 = C_1*23\)
Ответ: \( y = \pm \sqrt[4]{ \frac{23}{ C_2e^{\frac{4}{45} x^{9}} - 2e^{\frac{10}{9}x^9}}} \)
