Решим дифференциальное уравнение: \( y'=\frac{y}{x}- sh^2(\frac{y}{x}) \)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$ называется однородным уравнением. Решается методом замены вида \( y = ux \), которая приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Применим замену для решения задания \( y = ux => y' = u'x + u \)$$ y'=\frac{y}{x}-sh^2(\frac{y}{x}) => u'x + u =\frac{ux}{x}-sh^2(\frac{ux}{x}) =>$$$$ u'x + u =u-sh^2(u) => u'x =-sh^2(u)$$ Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его путем переноса всех членов с переменной \( u \) в левую часть уравнения, а с \(x \) в правую, для этого разделим обе части уравнения на \(x*sh^2(u)\). При делении появилось особое решение \( x*sh^2(u) = 0 => x=0 \) , которые нужно проверять отдельно. Получим $$ \frac{du}{dx}x =-sh^2(u)=> \frac{du}{sh^2(u)} =-\frac{dx}{x}$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{du}{sh^2(u)}= - \int \frac{dx}{x} => $$$$ -cth(u) = -\ln(x) + C => cth{u} = \ln(x) - C$$ применяем обратную замену \( y = ux => u = \frac{y}{x} \)$$ cth(\frac{y}{x}) = \ln(x) - C => \frac{y}{x} = arccth( \ln(x) - C) => $$$$ y = x*arccth( \ln(x) - C) $$ Проверяем особое решение \(x = 0\), по ОДЗ логарифма \(x > 0\), т.е. \( x = 0\) не является решением дифференциального уравнения.
Ответ: \(y = x *arccth( \ln(x) - C) \)
