Решим дифференциальное уравнение: \( y'=\frac{e^{-y}}{x-3}\)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными. Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$ Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменными $$ y'=\frac{e^{-y}}{x-3} => \frac{dy}{dx}=\frac{e^{-y}}{x-3} => $$ переносим все члены с переменной \( y \) в левую часть уравнения, а с \(x \) в правую. Разделим обе части уравнения на \(e^{-y}\). Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. В данном задании \(e^{-y} \ne 0\), поэтому особых решений нет. Получим $$ \frac{dy}{e^{-y}} = \frac{dx}{x-3} =>$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{dy}{e^{-y}}= \int \frac{dx}{x-3} => $$$$ e^y = \ln(x-3) + C$$ логарифмируем правую и левую части уравнения $$ \ln(e^y) = \ln( \ln(x-3) + C) => y = \ln( \ln(x-3) + C)$$
Ответ: \(y = \ln( \ln(x-3) + C) \)
