Исследуем функцию \( y = \frac{1-x^2}{4-x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( 4-x^2 \ne 0 => x \ne \pm 2\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; -2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва x = -2
Функция имеет две точки разрыва x = 2
исследуем точку x= -2. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -2+0} \frac{1-x^2}{4-x^2} = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -2-0} \frac{1-x^2}{4-x^2} = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = -2\) является вертикальной асимптотой.
исследуем точку x= 2. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 2+0} \frac{1-x^2}{4-x^2} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 2-0} \frac{1-x^2}{4-x^2} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 2\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{1-(-x)^2}{4-(-x)^2} = \frac{1-x^2}{4-x^2}\) функция является четной, т.е. симметричной относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{1-x^2}{4-x^2}= 0 =>x_1 = -1; \quad x_2 = 1 \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами (-1;0) и (1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =1 и одну точку разрыва x = 2 , т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0.5) = \frac{1-x^2}{4-x^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \((1;2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1.5) = \frac{1-x^2}{4-x^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{1-x^2}{4-x^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{1-x^2}{4-x^2} = \frac{1}{4} \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; \frac{1}{4})\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{1-x^2}{4-x^2})'= \frac{-2x(4-x^2) + 2x(1-x^2)}{(4-x^2)^2} = $$$$ = -2x\frac{4-x^2 -1 +x^2)}{(4-x^2)^2} = -\frac{6x)}{(4-x^2)^2}$$ приравняем к 0 $$ -\frac{6x)}{(4-x^2)^2} = 0 => x= 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этих точках
\(f(0)= \frac{1-x^2}{4-x^2} = \frac{1}{4} \), получили координаты критической точки \((0; \frac{1}{4})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точку, в которой производная не определена (на рассматриваемом интервале ОДЗ \((0; +\infty)\)), они делят ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((0; 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -\frac{6x)}{(4-x^2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = -\frac{6x)}{(4-x^2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Рассмотрим критическую точку \( x=0\) получим,
Т.к. функция симметрична относительно оси Oy, понятно, что это точка максимума, проверим это, возьмем для анализа точку \(x = -1\), симметричную использованной раннее точки \(x =1\), получим
\(f(-1) = -\frac{6x)}{(4-x^2)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
для \(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((0; \frac{1}{4})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -\frac{6x)}{(4-x^2)^2})'= -\frac{6(4-x^2)^2 + 6x*2(4-x^2)*2x}{(4-x^2)^4} = $$$$ = -6\frac{4-x^2 + 4x^2}{(4-x^2)^3} = 6\frac{4 + 3x^2}{(x^2 - 4)^3} $$ Приравняем к нулю $$ 6\frac{4 + 3x^2}{(x^2 - 4)^3} = 0 => 0$$ При всех значениях \(x\) на рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) функция точек перегиба не имеет, т.к. вторая производная функции не равна 0. Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ в пределах рассматриваемого интервала.
интервал \((0; 2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 6\frac{4 + 3x^2}{(x^2 - 4)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((2; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = 6\frac{4 + 3x^2}{(x^2 - 4)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которой вторая производная равна нулю \(x =0\)- точка возможного перегиба. поэтому нет и точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x = 2, x=-2 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{1-x^2}{4-x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1-x^2}{x(4-x^2)} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$, т.к. \(л = 0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{1-x^2}{4-x^2}= 1$$график функции стремится к 1. Рассмотрим, с какой стороны график приближается к асимптоте. Найдем предел разности уравнения функции и асимптоты $$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{1-x^2}{4-x^2} - 1) = \lim_{x \to +\infty}(\frac{1-x^2 -4 + x^2}{4-x^2}) = $$$$ = \lim_{x \to +\infty}(\frac{-3}{4-x^2}) = \lim_{x \to +\infty}(\frac{3}{x^2 - 4}) = 0+$$ т.е. график функции приближается к асимптоте сверху.
Горизонтальная асимптота \(y = 1\).
9. График функции.
