Найдем первообразную функции: \( f(x)= \sin(x)-e^{3x}\), график функции, которой проходит через начало координат, т.е. точку с координатами \((0;0)\)
Решение: ищем первообразную $$ \int (\sin(x)-e^{3x})dx = \int \sin(x)dx- \int e^{3x}dx =$$воспользуемся табличной формулой интегралов:
показательной функции \( \int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax} +C\) и
тригонометрической функции \( \int \sin(x)dx = -\cos(x) + C\)$$= -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x}$$Получили множество кривых (первообразных), найдем кривую из этого множества, проходящую через точку, заданную в задании \(O (0; 0) \). Подставляем координаты точки в уравнение первообразной \( F(x) = -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x}\) и находим значение \(C\), получаем $$F(0) = -cos(0) - \frac{1}{3}e^{3*0} + C => 0 = -1 -\frac{1}{3} + C => C = \frac{4}{3}$$подставляем в уравнение первообразной $$F(x) = -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{4}{3}$$
Ответ: первообразная функции \(f(x)= \sin(x)-e^{3x}\), проходящая через точку \(O (0; 0) \) равна \(F(x) = -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{4}{3} \)
