Исследуем функцию \( y= x^2(1- \sqrt{x}) \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения $$D_f=[0; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)^2(1- \sqrt{-x}) \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( x^2(1- \sqrt{x}) = 0 => x_1 = 0; \quad x_2= 1\). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\), \((1;0)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства с учетом ОДЗ
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; 1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0,5) = 0,5^2(1- \sqrt{0,5}) > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((1; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = 2^2(1- \sqrt{2}) < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = 0^2(1- \sqrt{0}) = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; 0)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x^2(1- \sqrt{x}) )'= (x^2- x^{ \frac{5}{2}}) )' = 2x - \frac{5}{2}x^{ \frac{3}{2}}$$ приравняем к 0 $$ 2x - \frac{5}{2}x^{ \frac{3}{2}} =0 => x_1 = 0; \quad x_2 = \frac{16}{25} $$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этих точках
\(f(0) = 0\), получили координаты критической точки \((0;0)\)
\(f( \frac{16}{25}) \approx 0.08 \), получили координаты критической точки \(( \frac{16}{25} ; 0.08 )\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку, она делит ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((0; \frac{16}{25})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'( \frac{1}{2}) = 2x - \frac{5}{2}x^{ \frac{3}{2}} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((\frac{16}{25}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(1) = 2x - \frac{5}{2}x^{ \frac{3}{2}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = \frac{16}{25} \): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \(( \frac{16}{25} ; 0.08 )\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 2x - \frac{5}{2}x^{ \frac{3}{2}})' = 2 - \frac{15}{4} \sqrt{x}$$ Приравняем к нулю $$ 2 - \frac{15}{4} \sqrt{x} = 0 => x = \frac{64}{225} \approx 0.3$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((0; 0.3\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.1) = 2 - \frac{15}{4} \sqrt{0.1} > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0.3; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 2 - \frac{15}{4} \sqrt{1} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = 0.3 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба. Найдем значения функции \(f(0.3) \approx 0.04 \)
Координаты точки перегиба \((0.3; 0.04 )\) \)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x^2(1- \sqrt{x}) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1- \sqrt{x})}{x} = -\infty => k= -\infty $$ график функции наклонной асимптоты не имеет.
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}x^2(1- \sqrt{x}) = -\infty $$
Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
