Найдем интеграл: \( \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx \)
Решение: проведем преобразования, в числителе и знаменателе получим формулу квадрата разности \( x^2-1 = (x-1)(x+1)\) $$ \int \frac{x^2-1 + 2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx = \int \frac{(x-1)(x+1) + 2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx $$$$ = \int (\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)})dx = \int \frac{1}{x+1}dx + \int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx \quad (1)$$ Найдем отдельно каждый интеграл:
первый интеграл:
\( \int \frac{1}{x+1}dx \) применяем формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) +C\), получаем $$ \int \frac{1}{x+1}dx = \ln(x+1) +C$$
второй интеграл:
\( \int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx \) применяем метод неопределенных коэффициентов $$ \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1}=> \quad (2)$$ приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A(x+1)(x-1)+ B(x-1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)} => \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A(x^2-1)+ B(x-1) + C(x^2+2x+1)}{(x+1)^2(x-1)} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные константы, т.е \(2 = A(x^2-1)+ B(x-1) + C(x^2+2x+1)\) $$\begin{cases} -A-B+C = 2\\ B + 2C = 0 \\ A+C =0\end{cases}=> \begin{cases} C+2C+C = 2\\ 2C = -B \\ C = -A\end{cases} => $$$$ \begin{cases} C = \frac{1}{2}\\ B = -1 \\ A = -\frac{1}{2}\end{cases}$$подставляем в (2) \( \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= -\frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)} \), теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx = \int (-\frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)})dx =$$$$ = -\int \frac{1}{2(x+1)}dx - \int \frac{1}{(x+1)^2}dx + \int \frac{1}{2(x-1)}dx = $$ применим формулы табличных интегралов:
от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) +C\) и
от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\), получим $$ =- \frac{1}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{-2+1}(x+1)^{-2+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C =- \frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C$$
Подставляем в (1)
$$ \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx = \ln(x+1) - \frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C = $$$$ =\frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C = \frac{1}{2}( \ln(x^2-1) + \frac{2}{x+1}) + C$$
Ответ: \(\int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx = \frac{1}{2}( \ln(x^2-1) + \frac{2}{x+1}) + C \)
