Найти интеграл $$\int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx$
Решение: проведем преобразования, в числителе и знаменателе получим формулу квадрата разности $x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$$\int \frac{x^2-1 + 2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx = \int \frac{(x-1)(x+1) + 2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx$$ $$= \int (\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)})dx = \int \frac{1}{x+1}dx + \int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx \quad (1)$$ Найдем отдельно каждый интеграл:
первый интеграл:
$\int \frac{1}{x+1}dx$ применяем формулу табличного интеграла от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) +C$, получаем $$\int \frac{1}{x+1}dx = \ln(x+1) +C$$
второй интеграл:
$\int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx$ применяем метод неопределенных коэффициентов $$\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} +  \frac{C}{x-1}=>  \quad (2)$$ приводим дроби к общему знаменателю $\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A(x+1)(x-1)+ B(x-1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)} => \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}= \frac{A(x^2-1)+ B(x-1) + C(x^2+2x+1)}{(x+1)^2(x-1)}$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при $x$ с равными степенями и находим неизвестные константы, т.е $2 = A(x^2-1)+ B(x-1) + C(x^2+2x+1)$ $$\begin{cases} -A-B+C = 2\\ B + 2C = 0 \\ A+C =0\end{cases}=> \begin{cases} C+2C+C = 2\\ 2C = -B \\ C = -A\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} C = \frac{1}{2}\\ B = -1 \\ A = -\frac{1}{2}\end{cases}$$ подставляем в (2)  $\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}=  -\frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} +  \frac{1}{2(x-1)}$, теперь можно найти интеграл $$\int \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-1)}dx  = \int (-\frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} +  \frac{1}{2(x-1)})dx =$$ $$= -\int \frac{1}{2(x+1)}dx - \int \frac{1}{(x+1)^2}dx +  \int \frac{1}{2(x-1)}dx =$$ применим формулы табличных интегралов:
от обратной функции $\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) +C$ и
от степенной функции $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}$, получим $$=- \frac{1}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{-2+1}(x+1)^{-2+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C =- \frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C$$
Подставляем в (1)
$$\int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx = \ln(x+1) - \frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C =$$ $$=\frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x-1) + C = \frac{1}{2}( \ln(x^2-1) + \frac{2}{x+1}) + C$$
Ответ: $\int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx  =  \frac{1}{2}( \ln(x^2-1) + \frac{2}{x+1}) + C$