Найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y=x^2; \quad y=x+4\).
1. Сделаем чертеж, на чертеже обозначим фигуру, площадь которой требуется найти.
2. Найдем площадь фигуры \(ABO\).
Фигура, ограниченная заданными кривыми - \(ABCD\). Из рисунка видно, что $$S_{ABO} = S_{ABCD} - S_{DAOBC} \quad (1)$$
Найдем площадь фигуры \(ABCD\). Для нахождения площади этой фигуры воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла - определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y= x+ 4\), осью Ox и перпендикулярами на эту ось \(x = x_A\) и \(x =x_B\). Найдем координаты точек \(A\) и \(B\)
Точка \(A\) и \(B\) - точки пересечения параболы \(y=x^2\) и прямой \( y = x+4 \) $$ \begin{cases}y=x^2 \\ y=x+ 4 \end{cases} => \begin{cases} x+ 4 =x^2 \\ y=x+ 4 \end{cases} => $$$$ x_1 = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}; \quad x_2 = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}$$
Найдем площадь фигуры \(ABCD\)
$$S_{ABCD} = \int_{ \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}}^{ \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}}(x+ 4)dx $$
Найдем площадь фигуры \(DAOBC\)
$$S_{ABCD} = \int_{ \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}}^ {\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}}x^2dx $$
Полученные результаты подставим в (1)
$$S_{ABO} = S_{ABCD} - S_{DAOBC} = $$$$ =\int_{ \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}}^{ \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}}(x+ 4)dx - \int_{ \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}}^{ \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}}x^2dx = $$$$ =\frac{x^2}{2} + 4x - \frac{x^3}{3}| _{ \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{17}}{2}}^ {\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{17}}{2}} = \frac{17 \sqrt{17}}{6}$$
Ответ: площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y=x^2; \quad y=x+4\) равна \( S_{ABO} = \frac{17 \sqrt{17}}{6} \).
