Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} \)
Решение: преобразуем подынтегральную функцию $$ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} = \int x^{-2} (9-x^2)^{-\frac{1}{2}} = $$ получили интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = -2; \quad a = 9; \quad b = -1; \quad n = 2; \quad p = -\frac{1}{2}\). Пусть $$ \frac{m+1}{n}+p = \frac{-2+1}{2} - \frac{1}{2} = 1$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 9x^{-2} - 1 = t^2 => -18x^{-3}dx = 2tdt => x^{-3}dx = -\frac{1}{9}tdt$$ Подставляем в интеграл замену $$ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{9-x^2}} = \int \frac{dx}{x^3\sqrt{ 9x^{-2} - 1}} = $$$$ = -\frac{1}{9} \int \frac{tdt}{t}= - \frac{1}{9} \int dt = -\frac{1}{9}t +C $$ применяем обратную замену \( 9x^{-2} - 1 = t^2 => t = \sqrt{9x^{-2} - 1} = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}\), получаем $$ = -\frac{1}{9}\frac{\sqrt{9-x^2}}{x} +C $$
Ответ: \( \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} = -\frac{1}{9}\frac{\sqrt{9-x^2}}{x} +C \)
