Найдем интеграл: \( \int \frac{x^3dx}{\sqrt{4+x^2}} \)
Решение: избавимся от иррациональности в знаменателе, для этого введем замену \( t^2 = 4 + x^2 => tdt = xdx; x^2 = t^2-4\), подставляем $$ \int \frac{x^3}{\sqrt{4+x^2}}dx = \int \frac{t^2 - 4}{t}tdt = $$$$ =\int (t^2 - 4)dt = \frac{1}{3}t^3 - 4t + C$$ применяем обратную замену \( t = \sqrt{4 + x^2} \)$$ = \frac{1}{3}(4 + x^2)^{\frac{3}{2}} - 4(4 + x^2) + C = \frac{1}{3}(4 + x^2 - 12) \sqrt{4 + x^2} + C = $$$$ = \frac{1}{3}(x^2 - 8) \sqrt{4 + x^2} + C$$
Ответ: \( \int \frac{x^3dx}{\sqrt{4+x^2}} = \frac{1}{3}(x^2 - 8) \sqrt{4 + x^2} + C \)
