Найдем интеграл: \( \int \frac{x^3-2x+1}{x^3-7x-6}dx \)
Решение: проведем преобразования: в числителе и знаменателе многочлены одной степени, т.е. нужно выделить целую часть дроби $$ \int \frac{x^3-2x-5x+5x-6+6+1}{x^{3}-7x-6}dx = \int \frac{x^3-7x-6+5x+7}{x^{3}-7x-6}dx = $$$$ = \int (1 + \frac{5x+7}{x^{3}-7x-6})dx = \int dx + \int \frac{5x+7}{x^3-7x-6}dx = x + \int \frac{5x+7}{x^3-7x-6}dx +C$$
Найдем интеграл \( \int \frac{5x+7}{x^3-7x-6}dx \). Найдем целые корни кубического уравнения в знаменателе (если они есть). Будем искать корни среди целых делителей свободного члена, получаем \( \pm 1; \quad \pm 2; \quad \pm 3; \quad \pm 6 \), видно, что проверку нужно начинать с 3, проверяем, является ли корнем \(x = 3\), получаем \( 3^3-7*3-6 = 0\) - корень кубического уравнения. Найдем остальные корни путем деления кубического уравнения на многочлен первой степени \(x-3\). \( \frac{x^3-7x-6}{x-3} = x^2+3x+2\). Получили квадратное уравнение, найдем корни этого уравнения \(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4*2}}{2} => x_1 = -1; \quad x_2=-2; \). Получили корни \(x_1=-1; \quad x_2 = -2; \quad x_3 = 3\). Подставляем результат в формулу интеграла $$ \int \frac{5x+7}{x^3-7x-6}dx = \int \frac{5x+7}{(x+1)(x+2)(x-3)}dx$$
Для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов $$ \frac{5x+7}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{5x+7}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A(x+2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A(x^2-x-6) + B(x^2-2x-3) + C(x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)(x-3)}\) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( 5x+7 = A(x^2-x-6) + B(x^2-3x-3) + C(x^2+3x+2)\) $$\begin{cases} -6A-3B+2C = 7\\ -A -2B + 3C = 5 \\ A+B+C =0 \end{cases}=> \begin{cases} 6B+6C-3B+2C = 7\\ B+C -2B + 3C = 5 \\ A = -B-C \end{cases} => $$$$ \begin{cases} 3B+8C = 7\\ -B +4C = 5 \\ A = -B-C \end{cases} => \begin{cases} B = -\frac{3}{5} \\ C = \frac{11}{10} \\ A = -\frac{1}{2} \end{cases} $$ подставляем в (1) \( \frac{5x+7}{(x+1)(x+2)(x-3)} = -\frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{5(x+2)} + \frac{11}{10(x-3)} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{x^3-2x+1}{x^3-7x-6}dx = x + \int ( -\frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{5(x+2)} + \frac{11}{10(x-3)} )dx + C = $$$$ =x -\int \frac{1}{2(x+1)}dx - \int \frac{3}{5(x+2)}dx + \int \frac{11}{10(x-3)}dx +C =$$ применим табличную формулу интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \), получаем $$ = x - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{3}{5} \ln(x+2) + \frac{11}{10}\ln(x-3) +C $$
Ответ: \( \int \frac{x^3-2x+1}{x^3-7x-6}dx = x - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{3}{5} \ln(x+2) + \frac{11}{10}\ln(x-3) +C \)
