Найдем интеграл: \( \int \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов $$ \int \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)}dx = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+C}{x^2+1} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1) + (Bx+C)(x-3)}{(x-3)(x^2+1)}\) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( 4x-3 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-3) \) $$\begin{cases} A-3C = -3\\ -3B + C = 4 \\ A+B =0 \end{cases}=> \begin{cases} B = 3 - 3C\\ -9+9C + C = 4 \\ A = -B \ \end{cases} => $$$$ \begin{cases} B = -\frac{9}{10} \\ C = \frac{13}{10} \\ A = \frac{9}{10} \end{cases} $$ подставляем в (1) \( \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{9}{10(x-3)} + \frac{-\frac{9}{10}x+\frac{13}{10}}{x^2+1} = \frac{9}{10(x-3)} + \frac{-9x+13}{10(x^2+1)} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)} = \int \frac{9}{10(x-3)}dx - \int \frac{9x}{10(x^2+1)} +\int \frac{13}{10(x^2+1)}= \quad (2)$$ применим табличную формулу
интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \),
интеграла от обратной тригонометрической функции \( \int \frac{1}{x^2+1}dx = arctg(x) + C\)
$$ = \frac{9}{10}\ln(x-3) - \frac{9}{10} \int \frac{x}{x^2+1}dx + \frac{13}{10}\ln(x^2+1) +C$$
найдем интеграл \( \int \frac{x}{x^2+1}dx\) применим метод замены переменной \(t^2 = x^2+1 => tdt = xdx\), подставляем замену \(\int \frac{t}{t^2}dt = \int \frac{1}{t}dt = \ln(t)\). Применим обратную замену $$ \int \frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$
Подставим результаты в (2)
$$ = \int \frac{9}{10(x-3)}dx - \int \frac{9x}{10(x^2+1)} +\int \frac{13}{10(x^2+1)} = $$$$ = \frac{9}{10} \ln(x-3) - \frac{9}{20}\ln(x^2+1) + \frac{13}{10} arctg(x) +C$$
Ответ: \( \int \frac{4x-3}{(x-3)(x^2+1)}dx = \frac{9}{10} \ln(x-3) - \frac{9}{20}\ln(x^2+1) + \frac{13}{10} arctg(x) +C \)
