Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{4-\sin(x)+2\cos(x)} \)
Решение: применим универсальную тригонометрическую замену \(t = tg(\frac{x}{2})\), тогда \( \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}\), \( \cos(x) = \frac{1 -t^2}{1+t^2}\), \( dx = \frac{2dt}{1+t^2}\), подставляем в интеграл $$\int \frac{dx}{4-\sin(x)+2 \cos(x)} = \int \frac{1}{4-\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1 -t^2}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2} =$$$$ = \int \frac{1}{4(1+t^2)-2t+2 -2t^2}2dt = \int \frac{1}{4+4t^2-2t+2 -2t^2}2dt = $$$$ = \int \frac{1}{t^2-t+3 }dt = $$ выделим полный квадрат в знаменателе, чтобы привести к формуле интеграла от тригонометрической функции \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} arctg( \frac{x}{a}) + C\) $$ = \int \frac{1}{t^2-2*\frac{1}{2}t+ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}+3 }dt = \int \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4} }dt =$$$$ = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{11}{4}}} arctg( \frac{t - \frac{1}{2}}{ \sqrt{\frac{11}{4}}}) + C = \frac{2}{ \sqrt{11}} arctg( \frac{2t - 1}{ \sqrt{11}}) + C =$$ применяем обратную замену \(t = tg(\frac{x}{2})\), получаем $$ = \frac{2}{ \sqrt{11}} arctg( \frac{2tg(\frac{x}{2}) - 1}{ \sqrt{11}}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{4-\sin(x)+2\cos(x)} = \frac{2}{ \sqrt{11}} arctg( \frac{2tg(\frac{x}{2}) - 1}{ \sqrt{11}}) + C\)
