Найдем интеграл: \( \int \cos^4(\frac{x}{6})dx \)
Решение: проведем преобразования, понизим степень косинуса, применим формулу косинуса двойного угла \( \cos^2(x) = \frac{ \cos(2x)+1}{2}\), получаем \( \cos^4(\frac{x}{6}) = ( \frac{ \cos( \frac{x}{3})+1}{2})^2 = \frac{ \cos^2( \frac{x}{3}) + 2\cos( \frac{x}{3}) + 1}{4} = \), повторно применим формулу понижения степени косинуса \( = \frac{ \frac{ \cos( \frac{2x}{3})+1}{2} + 2\cos( \frac{x}{3}) + 1}{4} = \frac{\cos( \frac{2x}{3})}{8}+ \frac{ \cos( \frac{x}{3})}{2} + \frac{3}{8} \). Подставляем в интеграл $$ \int \cos^4(\frac{x}{6})dx = \int( \frac{\cos( \frac{2x}{3})}{8}+ \frac{ \cos( \frac{x}{3})}{2} + \frac{3}{8} )dx = $$
применяем формулу интеграла от косинуса \( int \cos(ax)dx = \frac{1}{a}\sin(ax) +C\)
Получаем: $$ = \int \frac{\cos( \frac{2x}{3})}{8}dx + \int \frac{ \cos( \frac{x}{3})}{2}dx + \int \frac{3}{8}dx = \frac{ 3\sin(\frac{2x}{3})}{16} + \frac{ 3\sin( \frac{x}{3})}{2} + \frac{3}{8}x + C$$
Ответ: \( \int \cos^4(\frac{x}{6})dx = \frac{ 3}{16}\sin(\frac{2x}{3}) + \frac{3}{2}\sin( \frac{x}{3}) + \frac{3}{8}x + C \)
