Найдем интеграл: \( \int \frac{sin^3x}{cos^6x}dx \)
Решение: проведем преобразования, представим числитель в виде \( \sin(x)*\sin^2(x) = \sin(x)(1- \cos^2(x))\). Подставим в формулу интеграла:
$$ \int \frac{sin^3x}{cos^6x}dx = \int \frac{\sin(x)(1- \cos^2(x)}{cos^6x}dx = $$$$ = \int \frac{\sin(x)}{cos^6x}dx - \int \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{cos^6x}dx = \int \frac{\sin(x)}{cos^6x}dx - \int \frac{\sin(x)}{cos^4x}dx $$в обоих интеграла можно применить замену переменной, т.к. числитель является производной знаменателя, поэтому \( t = \cos(x) => dt = -\sin(x)dx\), подставляем $$ = - \int \frac{1}{t^6}dt + \int \frac{1}{t^4}dt = $$ применяем табличный интеграл от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\) $$ = -\frac{1}{-6+1} t^{-6+1} + \frac{1}{-4+1} t^{-4+1} = \frac{1}{5t^5} - \frac{1}{3t^3} + C$$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{5\cos^5(x)} - \frac{1}{3\cos^3(x)} + C$$
Ответ: \( \int \frac{sin^3x}{cos^6x}dx = \frac{1}{5\cos^5(x)} - \frac{1}{3\cos^3(x)} + C\)
