Решение: решаем систему уравнений $$ \begin{cases} 2^{4x} -4^{x+3} \leq 65 \\ \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^4 + \log_{x+5} (\frac{x}{3-x}) \leq 3 \end{cases}$$
Рассмотрим каждое неравенство в системе уравнений отдельно:
1. нейдем решение неравенства \( 2^{4x} -4^{x+3} \leq 65 \)
Решим уравнение $$ 2^{4x} -4^{x+3} = 65 $$ приведем к общему основанию показательные функции \( 2^{4x} = 4^{2x}; \quad 4^{x+3} = 64*4^x\). Получили уравнение с показательными функциями с общим основанием $$ 4^{2x} -64*4^x - 65 = 0$$ Это уравнение является квадратным уравнением относительно \(4^x\), для тех кто это не увидел, введем замену \(4^x = t \), подставляем замену и решаем квадратное уравнение $$ t^2 - 64t - 65 = 0 => t_{1,2} = \frac{ 64 \pm \sqrt{64^2 + 4*65 }}{2} => $$$$ t_{1,2} = \frac{ 64 \pm 66}{2} => t_1 = -1; t_2 = 65 $$ Возвращаемся обратно к неравенству $$ t^2 - 64t - 65 < 0 => \quad (t+1)(t-65) < 0 => \quad -1 < t < 65$$ применяем обратную замену \( t = 4^x\), также учтем, что при всех значениях аргумента \(x\) показательная функция \(a^x > 0\), получили $$-1 < 4^x < 65 => 4^x < 65 =>$$$$ x < \log_4(65) $$
2. нейдем решение неравенства \( \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^4 + \log_{x+5} (\frac{x}{3-x}) \leq 3 \)
Решим неравенство, предварительно преобразуем его.
Применим свойство степени логарифма \( \log_{a^p}b^q = \frac{q}{p}\log_ab\), получаем \(\log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^4 = 4\log_{x+5} (\frac{3-x}{x})\) и для второго слагаемого \( \log_{x+5} (\frac{x}{3-x}) = \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^{-1} = -\log_{x+5} (\frac{x}{3-x})\).
Подставляем в неравенство $$ \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^4 + \log_{x+5} (\frac{x}{3-x}) \leq 3 => $$$$ 4\log_{x+5} (\frac{3-x}{x}) - \log_{x+5} (\frac{3 - x}{x}) \leq 3 =>$$$$ 3\log_{x+5} (\frac{3-x}{x}) \leq 3 => \log_{x+5} (\frac{3-x}{x}) \leq 1 $$
Применим метод рационализации для решения этого неравенства :
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство \(\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)\) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций \(a(x) > 0; a(x) \ne 1\), а также \(f(x) > 0 ; g(x) >0\) и допишем неравенство $$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе:
- основание логарифма \( 0 < a(x) < 1\), тогда \(a(x) -1 < 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) < 0 \) ("-"*"-" > 0), т.е. логарифм убывающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) < 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
- основание логарифма \( a(x) > 1\), тогда \(a(x) -1 > 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) > 0 \) ("+"*"+" > 0) т.е. логарифм возрастающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) > 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
Составим систему неравенств, согласно метода $$ \log_{x+5} (\frac{3-x}{x}) \leq 1 = > \log_{x+5} (\frac{3-x}{x}) \leq \log_{x+5}(x+5) = > $$для удобства представим неравенство как в описании метода $$ \log_{x+5}(x+5) \geq \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})$$
$$ \begin{cases}x+5 > 0\\ x+5 \ne 1 \\ \frac{x}{3-x} > 0 \\ x \ne 0 \\ x \ne 3 \\ (x+5 -1)( x+5 - \frac{3-x}{x}) \geq 0\end{cases} => \begin{cases}x > -4\\ x \ne -4 \\ x(x-3) < 0 \\ x \ne 0 \\ x \ne 3 \\ (x+4)x(x^2+6x-3) \geq 0 \end{cases} =>$$ рассмотрим систему уравнений: видим, что в системе строгие неравенства \( x > -4 \) и \( x(x-3) < 0 \) они учитывают условие \( x \ne -4\), \( x \ne 0\) и \( x \ne 3\), поэтому эти условия можно в системе опустить $$ \begin{cases} x > -4\\ x(x-3) < 0 \\ (x+4)x(x + 3 +2 \sqrt{3})(x + 3 - 2\sqrt{3}) \geq 0 \end{cases} =>$$ $$ \begin{cases} x > -4\\ 0 < x < 3 \\ x \in (-\infty; -3 - 2\sqrt{3}) \cup (-4;0) \cup (-3+2\sqrt{3}; +\infty) \end{cases} => $$$$ -3+2\sqrt{3} < x < 3 $$
3. Решаем систему уравнений.
В п.1,2 были решены два неравенства, результаты подставим в систему уравнений $$ \begin{cases} 2^{4x} -4^{x+3} \leq 65 \\ \log_{x+5} (\frac{3-x}{x})^4 + \log_{x+5} (\frac{x}{3-x}) \leq 3\end{cases} => $$$$ \begin{cases} x < \log_4(65) \\ -3+2\sqrt{3} < x < 3 \end{cases} => -3+2\sqrt{3} < x < 3$$
Ответ: решение системы уравнения \( x \in (-3+2\sqrt{3}; 3)\)
