Исследуем функцию \( y= x^3*e^{x+1}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)^3*e^{-x+1}\) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( x^3*e^{x+1} = 0 => x = 0\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = (-1)^3*e^{-1+1} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((0; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1^3*e^{1+1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = 0^3*e^{0+1} = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;0)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( x^3*e^{x+1} )'= 3x^2*e^{x+1} + x^3*e^{x+1} = e^{x+1}x^2( 3 + x)$$ приравняем к 0 $$ e^{x+1}x^2( 3 + x) =0 => x_1 = 0; \quad x_2=-3$$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(-3) = (-3)^3*e^{-3+1} = -\frac{27}{e^2} \approx -3,65\), получили координаты критической точки \((-3; -\frac{27}{e^2})\)
\(f(0) = 0^3*e^{0+1} = 0 \), получили координаты критической точки \((0;0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = e^{-4+1}(-4)^2( 3 -4) < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( -3; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = e^{-1+1}(-1)^2( 3 - 1) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = e^{1+1}1^2( 3 +1) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = -3\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((-3; -\frac{27}{e^2})\)
\(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad +\), т.е. в этой точке функция не имеет экстремума. Это точка возможного перегиба.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( e^{x+1}x^2( 3 + x))' = ( e^{x+1}(3x^2 + x^3))'= $$$$ = e^{x+1}(3x^2 + x^3) + e^{x+1}(6x + 3x^2) = e^{x+1}(x^3 + 6x^2 + 6x) = e^{x+1}x(x^2 + 6x + 6)$$ Приравняем к нулю $$ e^{x+1}x(x^2 + 6x + 6) = 0 => x(x^2 + 6x + 6) = 0 => x_1 =0; \quad x_2 = -3 - \sqrt{3}; \quad x_3 = -3 + \sqrt{3}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; -3 - \sqrt{3}\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-5) = e^{-5+1}(-5)((-5)^2 + 6(-5) + 6) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-3 - \sqrt{3}; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = e^{-1+1}(-1)((-1)^2 + 6(-1) + 6) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 3 - \sqrt{3} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = e^{1+1}*1*(1^2 + 6*1 + 6) > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \(( 3 - \sqrt{3}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = e^{1+1}*5*(5^2 + 6*5 + 6) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет три точки, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -3 - \sqrt{3} \): \(\quad - \quad 0 \quad -\) вторая производная знак не поменяла. Данная точка не является точкой перегиба.
точка \(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла.
Координаты точки перегиба \((0; 0 )\)
точка \(x = 3 - \sqrt{3} \): \(\quad + \quad 0 \quad +\) вторая производная знак не поменяла. Данная точка не является точкой перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x^3*e^{x+1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3*e^{x+1}}{x} = +\infty => k= \infty $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k= \infty\)
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}x^3*e^{x+1} = +\infty $$$$ \lim_{x \to -\infty}x^3*e^{x+1} = 0$$ Горизонтальная асимптота \( y = 0\) только при \( x \to -\infty\) .
9. График функции.
