Исследуем функцию \( y = x+e^{-x}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x+e^{+x} \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( x+ e^{-x} = 0 \). Кривая точек пересечения с осью Ox не имеет, т.к. при \( x > 0 \) оба слагаемых положительные, а при \( x < 0 \) показательная функция \( y = e^{-x} > 0 \) и стремится в \( +\infty\) быстрее чем функция \( y = x\)
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox
Определим знак функции на ОДЗ
интервал \((-\infty; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = 0+ e^{-0} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = 0+ e^{-0} = 1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; 1)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( x+ e^{-x} )'= 1- e^{-x}$$ приравняем к 0 $$ 1- e^{-x} =0 => 1= e^{-x} => x = 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(0) = 0+ e^{-0} = 1 \), получили координаты критической точки \((0;1)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку, она делит ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -1- e^{1} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = 1- e^{-1} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \(( 0; 1)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 1- e^{-x})' = e^{-x} $$ Приравняем к нулю $$ e^{-x} = 0 $$ При всех значениях \(x\) вторая производная больше нуля, т.е. на всем ОДЗ вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, в которых вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба, т.е. точек перегиба нет.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x+e^{-x} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+e^{-x}}{x} = 1 => k= 1 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$ \lim_{x \to +\infty}(x+e^{-x} - x) = 0$$
Наклонная асимптота \( y = x \).
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(x+e^{-x}) = +\infty $$$$ \lim_{x \to -\infty}(x+e^{-x}) = +\infty$$
Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
