Найдем интеграл: \( \int\frac{x^3}{\sqrt{2+x^4}}dx \)
Решение: числитель \( x^3\) - это производная от \( x^4 \) , поэтому введем замену \( t = 2+ x^4 => dt = 4x^3dx => \frac{dt}{4} = x^3dx\) $$ \int\frac{x^3}{\sqrt{2+x^4}}dx=$$ подставляем замену $$ = \int\frac{dt}{4\sqrt{t}} = \int \frac{1}{4}t^{ -\frac{1}{2}}dt$$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{4} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1} t^{-\frac{1}{2}+1} +C = \frac{1}{2} t^{\frac{1}{2}} +C $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{2} \sqrt{2+x^4} +C$$
Ответ: \( \int\frac{x^3}{\sqrt{2+x^4}}dx = \frac{1}{2} \sqrt{2+x^4} +C\)
