Найдем интеграл: \( \int \frac{x^5}{3+x^6}dx \)
Решение: числитель \( x^5\) - это производная от \( x^6 \) , поэтому введем замену \( t = 3+ x^6 => dt = 6x^5dx => \frac{dt}{6} = x^5dx\) $$ \int \frac{x^5}{3+x^6}dx =$$ подставляем замену $$ = \int\frac{dt}{6t} = $$ применяем табличную формулу интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{6} \ln(t) +C =$$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{6} \ln(3+ x^6) +C $$
Ответ: \( \int \frac{x^5}{3+x^6}dx = \frac{1}{6} \ln(3+ x^6) +C\)
