Найти интеграл $$\int\frac{e^{tg4x}}{ \cos^{2}4x}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx$
Решение: дробь $\frac{1}{cos^2(4x)}$ - производная от $tg(4x)$ , поэтому введем замену $t = tg(4x) => dt  = \frac{4}{cos^2(4x)}dx => \frac{dt}{4} = \frac{1}{cos^2(4x)}dx$ $$\int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx =$$ подставляем замену $$= \int \frac{e^t}{4}dt =$$ применяем табличную формулу интеграла показательной функции  $e^x$, получаем $\int e^xdx = e^x + C$, получаем $$= \frac{1}{4} e^t +C =$$ применяем обратную замену $$= \frac{1}{4} e^{tg(4x)} +C$$
Ответ: $\int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx = \frac{1}{4} e^{tg(4x)} +C$