Найдем интеграл: \( \int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx \)
Решение: дробь \( \frac{1}{cos^2(4x)} \) - производная от \( tg(4x) \) , поэтому введем замену \( t = tg(4x) => dt = \frac{4}{cos^2(4x)}dx => \frac{dt}{4} = \frac{1}{cos^2(4x)}dx \) $$ \int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx = $$ подставляем замену $$ = \int \frac{e^t}{4}dt = $$ применяем табличную формулу интеграла показательной функции \(e^x\), получаем \( \int e^xdx = e^x + C\), получаем $$ = \frac{1}{4} e^t +C = $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{4} e^{tg(4x)} +C$$
Ответ: \( \int \frac{e^{ tg(4x)}}{cos^{2}(4x)}dx = \frac{1}{4} e^{tg(4x)} +C \)
