Найдем интеграл: \( \int \frac{ \cos(x)}{ \sin^4(x)}dx \)
Решение: числитель \( \cos(4x) \) - производная от \( \sin(x) \) , поэтому введем замену \( t = \sin(x) => dt = \cos(x)dx \) $$ \int \frac{ \cos(x)}{sin^4(x)}dx = $$ подставляем замену $$ = \int \frac{1}{ t^4}dt = $$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции , получаем \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{-4+1} t^{-4+1} +C = - \frac{1}{3} t^{-3} +C$$ применяем обратную замену $$ = -\frac{1}{3 \sin^3(x)} + C$$
Ответ: \( \int \frac{ \cos(x)}{ \sin^4(x)}dx = -\frac{1}{3 \sin^3(x)} + C \)
