Найдем интеграл: \( \int\frac{ \arcsin^4(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx \)
Решение: дробь \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) - производная от \( \arcsin(x) \) , поэтому введем замену \( t = \arcsin(x) => dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \) $$ \int \frac{ \arcsin^4(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx = $$ подставляем замену $$ = \int ( t^4+1)dt = \int t^4dt+\int dt $$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции , получаем \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{4+1} t^{4+1} +t + C = \frac{1}{5} t^{5} + t + C$$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{5} ( \arcsin(x))^{5} + \arcsin(x) + C$$
Ответ: \( \int\frac{ \arcsin^4(x)+1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{1}{5} ( \arcsin(x))^{5} + \arcsin(x) + C \)
