Найдем интеграл: \( \int\frac{1}{(x-1) \ln(x-1)}dx \)
Решение: дробь \( \frac{1}{x-1}\) - производная от \( \ln(x-1)\) , поэтому введем замену \( t = \ln(x-1) => dt = \frac{1}{x-1}dx \) $$ \int\frac{1}{(x-1) \ln(x-1)}dx = $$ подставляем замену $$ \int\frac{1}{t}dt =$$ применяем табличную формулу интеграла обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \ln(t) +C = $$ применяем обратную замену $$ = \ln( \ln(x-1)) +C$$
Ответ: \( \int\frac{1}{(x-1) \ln(x-1)}dx = \ln( \ln(x-1)) +C \)